LOGIC LAB
Continuità, Derivabilità & Teoremi
1ª Specie (Salto)
Limiti finiti ma diversi.\( L_1 \neq L_2 \)
2ª Specie (Essenziale)
Almeno un limite è \( \infty \) o non esiste.
3ª Specie (Eliminabile)
Limiti uguali e finiti, ma \( f(x_0) \) diverso o non esiste.
Derivabilità
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)(No cuspidi, no punti angolosi).
1. Trova i Parametri (k, a, b)
Parametro
Risoluzione
Calcola i limiti a \( 0^- \) e \( 0^+ \).
\( \lim_{x\to 0^-} (x^2 + k) = k \)
\( \lim_{x\to 0^+} (e^x + 2) = 1 + 2 = 3 \)
Per essere continua: \( k = 3 \).
\( \lim_{x\to 0^-} (x^2 + k) = k \)
\( \lim_{x\to 0^+} (e^x + 2) = 1 + 2 = 3 \)
Per essere continua: \( k = 3 \).
Doppio
Risoluzione
1. Limite sinistro (Notevole): \( \frac{\sin(ax)}{x} \to a \).
2. Valore in 0: \( f(0) = 2 \).
3. Limite destro: \( 0 + b = b \).
Per continuità: \( a = 2 \) e \( b = 2 \).
2. Valore in 0: \( f(0) = 2 \).
3. Limite destro: \( 0 + b = b \).
Per continuità: \( a = 2 \) e \( b = 2 \).
2. Classifica le Discontinuità
Eliminabile
Risoluzione
Il dominio esclude \( x=1 \).
Limite: \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \to x+1 \to 2 \).
I limiti esistono e sono finiti (2).
3ª Specie (Eliminabile). Basta porre \( f(1)=2 \).
Limite: \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \to x+1 \to 2 \).
I limiti esistono e sono finiti (2).
3ª Specie (Eliminabile). Basta porre \( f(1)=2 \).
Salto
Risoluzione
A \( 0^+ \): \( \arctan(+\infty) = \pi/2 \).
A \( 0^- \): \( \arctan(-\infty) = -\pi/2 \).
Limiti finiti ma diversi.
1ª Specie (Salto). Ampiezza salto = \( \pi \).
A \( 0^- \): \( \arctan(-\infty) = -\pi/2 \).
Limiti finiti ma diversi.
1ª Specie (Salto). Ampiezza salto = \( \pi \).
3. Derivabilità (Angolosi/Cuspidi)
Punto Angoloso
Risoluzione
Derivata destra (\(x\)): \( 1 \).
Derivata sinistra (\(-x\)): \( -1 \).
Diverse ma finite \( \implies \) Punto Angoloso.
Derivata sinistra (\(-x\)): \( -1 \).
Diverse ma finite \( \implies \) Punto Angoloso.
Cuspide
Risoluzione
Derivata: \( \frac{1}{2\sqrt{|x|}} \cdot \text{sgn}(x) \).
A \( 0^+ \to +\infty \). A \( 0^- \to -\infty \).
Infinite di segno opposto \( \implies \) Cuspide.
A \( 0^+ \to +\infty \). A \( 0^- \to -\infty \).
Infinite di segno opposto \( \implies \) Cuspide.